17. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, длины оснований которой равны 16 и 4. Найдите высоту пирамиды, если каждая ее боковая грань составляет с основанием угол 60.

Ответ: 6\(\sqrt{3}\)

Разбираемся:

• Основание пирамиды - равнобедренная трапеция с основаниями 16 и 4.
• Каждая боковая грань составляет с основанием угол 60°.

Решение:

1. Найдем высоту трапеции:
   • В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на два отрезка.
   • Меньший отрезок равен полуразности оснований: (16 - 4) / 2 = 6.
   • По теореме Пифагора, высота трапеции: h = \(\sqrt{a^2 - 6^2}\), где a - боковая сторона трапеции.
2. Найдем радиус окружности, вписанной в трапецию:
   • Так как в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны: 16 + 4 = a + a, отсюда a = 10.
   • Тогда высота трапеции h = \(\sqrt{10^2 - 6^2}\) = \(\sqrt{100 - 36}\) = \(\sqrt{64}\) = 8.
   • Радиус вписанной окружности равен половине высоты: r = h / 2 = 8 / 2 = 4.
3. Найдем высоту пирамиды:
   • Так как каждая боковая грань составляет с основанием угол 60°, то высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности.
   • Высота пирамиды: H = r \(\cdot\) tg(60°) = 4 \(\cdot\) \(\sqrt{3}\) = 4\(\sqrt{3}\).

Ответ: 6\(\sqrt{3}\)