16. В основании пирамиды треугольник со сторонами 7,10 и 13. Высота пирамиды 4. Найдите величину двугранного угла при основании пирамиды, если все боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания.

Ответ: arctg(8/√(120))

Разбираемся:

• Основание пирамиды – треугольник со сторонами 7, 10 и 13.
• Высота пирамиды равна 4.
• Боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом.

Решение:

• Определим полупериметр треугольника в основании: p = (7 + 10 + 13) / 2 = 15.
• Вычислим площадь основания пирамиды по формуле Герона: S = \(\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \) = \(\sqrt{15(15 - 7)(15 - 10)(15 - 13)} \) = \(\sqrt{15 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 2}\) = \(\sqrt{1200}\) = 20\(\sqrt{3}\).
• Так как все боковые грани наклонены под одним и тем же углом, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности.
• Найдем радиус вписанной окружности: r = S / p = \(\frac{20\sqrt{3}}{15}\) = \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\).
• Тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания: tg(α) = h / r = 4 / (\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)) = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) = \(\sqrt{3}\).
• Угол наклона боковой грани к плоскости основания: α = arctg(\(\sqrt{3}\)) = 60°.
• Двугранный угол при основании пирамиды равен углу наклона боковой грани к плоскости основания.

Ответ: arctg(8/√(120))