704 Окружность с центром О описана около прямоугольного тре-угольника. а) Докажите, что точка О середина гипотенузы. б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен а, а один из острых углов треугольника равен с.

Решение:

• Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C.
• Окружность с центром O описана около треугольника ABC.
• Так как угол C — прямой (90°), то дуга AB равна 180° (половина окружности).
• Центральный угол AOB, опирающийся на дугу AB, равен дуге AB, то есть 180°.
• Следовательно, AOB — развернутый угол, и точки A, O, B лежат на одной прямой.
• Это означает, что AB — диаметр окружности.
• Точка O — центр окружности, поэтому она является серединой диаметра AB.
• Следовательно, точка O — середина гипотенузы AB.

• Пусть AB — гипотенуза, равная d. Угол BAC равен α. Тогда угол ABC = 90° - α.
• Катет BC лежит против угла α. Используем синус угла α: BC = AB * sin(α) = d * sin(α).
• Катет AC лежит против угла (90° - α). Используем косинус угла α: AC = AB * cos(α) = d * cos(α).

Ответ: BC = d * sin(α), AC = d * cos(α), AB = d