737. Определите, как изменится объем шара, если его радиус уменьшить: а) в 3 раза; б) в 5 раз; в) в 10 раз; г) в k раз.

Решение: Объем шара вычисляется по формуле: (V = \frac{4}{3} \pi r^3), где (r) - радиус шара. а) Если радиус уменьшить в 3 раза, то новый радиус (r' = \frac{r}{3}). Новый объем (V' = \frac{4}{3} \pi (\frac{r}{3})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{r^3}{27} = \frac{1}{27}(\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{1}{27}V). Объем уменьшится в 27 раз. б) Если радиус уменьшить в 5 раз, то новый радиус (r' = \frac{r}{5}). Новый объем (V' = \frac{4}{3} \pi (\frac{r}{5})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{r^3}{125} = \frac{1}{125}(\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{1}{125}V). Объем уменьшится в 125 раз. в) Если радиус уменьшить в 10 раз, то новый радиус (r' = \frac{r}{10}). Новый объем (V' = \frac{4}{3} \pi (\frac{r}{10})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{r^3}{1000} = \frac{1}{1000}(\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{1}{1000}V). Объем уменьшится в 1000 раз. г) Если радиус уменьшить в k раз, то новый радиус (r' = \frac{r}{k}). Новый объем (V' = \frac{4}{3} \pi (\frac{r}{k})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{r^3}{k^3} = \frac{1}{k^3}(\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{1}{k^3}V). Объем уменьшится в (k^3) раз. Ответ: а) в 27 раз б) в 125 раз в) в 1000 раз г) в (k^3) раз