10. Основание пирамиды РАABCD - ромб ABCD с диагоналями BD = 6 и СА = 8. Все боковые грани пирамиды образуют с основанием острый угол, синус которого равен 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 13

Пусть $$ABCD$$ - ромб, лежащий в основании пирамиды $$PABCD$$. Диагонали ромба: $$BD = 6$$ и $$CA = 8$$. Все боковые грани образуют с основанием острый угол, синус которого равен $$\frac{5}{13}$$. Необходимо найти площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Найдем площадь основания ромба $$ABCD$$:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2} BD \cdot CA = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$$.

2. Найдем сторону ромба $$AB$$:

Т.к. диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба, является прямоугольным. Тогда по теореме Пифагора:

$$AB^2 = (\frac{BD}{2})^2 + (\frac{CA}{2})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$,

следовательно, $$AB = 5$$.

3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды $$S_{бок}$$:

Известно, что все боковые грани образуют с основанием острый угол, синус которого равен $$\frac{5}{13}$$. Площадь проекции боковой поверхности на основание равна площади основания. Следовательно,

$$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos \alpha$$, где $$\alpha$$ - угол между боковой гранью и основанием.

Тогда $$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}$$.

Известно, что $$\sin \alpha = \frac{5}{13}$$. Тогда найдем $$\cos \alpha$$:

$$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$$,

$$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$.

Тогда площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = \frac{S_{ABCD}}{\cos \alpha} = \frac{24}{\frac{12}{13}} = 24 \cdot \frac{13}{12} = 2 \cdot 13 = 26$$.

Ответ: 26