6. В шаре на расстоянии 4 см от центра проведено сечение, площадь которого равна 9π см². Найдите объем шара.

Пусть R - радиус шара, r - радиус сечения, h - расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Дано: h = 4 см, площадь сечения $$S = 9\pi \text{ см}^2$$.

1. Найдем радиус сечения r:

Площадь сечения $$S = \pi r^2$$, следовательно, $$9\pi = \pi r^2$$, откуда $$r^2 = 9$$, и $$r = 3 \text{ см}$$.

2. Найдем радиус шара R:

По теореме Пифагора, $$R^2 = r^2 + h^2$$.

$$R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$, следовательно, $$R = 5 \text{ см}$$.

3. Найдем объем шара V:

Объем шара $$V = \frac{4}{3} \pi R^3$$.

$$V = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi (125) = \frac{500\pi}{3} \text{ см}^3$$.

Ответ: $$\frac{500\pi}{3} \text{ см}^3$$