9. Решите неравенство log1-x > 1. 51-x 8x +4

Решим неравенство $$\log_{1-x} \frac{2x+3}{8x+4} > 1$$.

ОДЗ:

1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1:
   • $$1 - x > 0 \Rightarrow x < 1$$
   • $$1 - x
     eq 1 \Rightarrow x
     eq 0$$
2. Выражение под логарифмом должно быть положительным:
   • $$\frac{2x+3}{8x+4} > 0 \Rightarrow \frac{2x+3}{4(2x+1)} > 0$$

Решим неравенство $$\frac{2x+3}{4(2x+1)} > 0$$.

Нули числителя: $$2x+3=0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$$.

Нули знаменателя: $$2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$$.

Интервалы: $$(-\infty; -\frac{3}{2}), (-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}; +\infty)$$.

Определим знаки на интервалах:

• На $$(-\infty; -\frac{3}{2})$$ значение положительное.
• На $$(-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2})$$ значение отрицательное.
• На $$(-\frac{1}{2}; +\infty)$$ значение положительное.

Таким образом, $$x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)$$.

Учитывая ОДЗ ($$x < 1$$ и $$x
eq 0$$), получаем: $$x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; 1)$$.

Теперь рассмотрим два случая:

1) Если $$0 < 1-x < 1$$, то есть $$0 < x < 1$$, тогда неравенство имеет вид:

$$\frac{2x+3}{8x+4} > 1$$.

$$\frac{2x+3}{8x+4} - 1 > 0$$.

$$\frac{2x+3 - (8x+4)}{8x+4} > 0$$.

$$\frac{-6x - 1}{8x+4} > 0$$.

$$\frac{6x + 1}{8x+4} < 0$$.

$$\frac{6x + 1}{4(2x+1)} < 0$$.

Нули числителя: $$6x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{6}$$.

Нули знаменателя: $$2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$$.

Знаки на интервалах: $$(-\infty; -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}), (-\frac{1}{6}; +\infty)$$.

Неравенство выполняется на интервале $$(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{6})$$.

Учитывая условие $$0 < x < 1$$, решений нет.

2) Если $$1 - x > 1$$, то есть $$x < 0$$, тогда неравенство имеет вид:

$$\frac{2x+3}{8x+4} < 1$$.

$$\frac{2x+3}{8x+4} - 1 < 0$$.

$$\frac{2x+3 - (8x+4)}{8x+4} < 0$$.

$$\frac{-6x - 1}{8x+4} < 0$$.

$$\frac{6x + 1}{8x+4} > 0$$.

$$\frac{6x + 1}{4(2x+1)} > 0$$.

Решения: $$(-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)$$.

Учитывая условие $$x < 0$$, получаем: $$(-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{6}; 0)$$.

Объединяя все условия, получаем: $$x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; -\frac{1}{6})$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; -\frac{1}{6})$$