88 Параллельные прямые АС и ВД пересекают плоскость а в точках А и В. Точки С и Д лежат по одну сторону от плоскости а, АС=8 см, BD=6 см, АВ = 4 см. а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость а в некоторой точке Е. б) Найдите отрезок ВЕ.

а) Пусть прямые AC и BD пересекают плоскость $$\alpha$$ в точках A и B соответственно. Точки C и D лежат по одну сторону от плоскости $$\alpha$$. Прямая CD не параллельна плоскости $$\alpha$$, так как иначе прямые AC и BD не пересекались бы с плоскостью. Следовательно, прямая CD пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке E.

б) Рассмотрим подобные треугольники ABE и CDE. Пусть BE = x. Тогда CE = AC - AE = 8 - AE. $$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE}$$

Так как прямые AC и BD параллельны, то треугольники ABE и CDE подобны. Значит:

$$\frac{AC}{BD} = \frac{AE}{BE}$$

$$\frac{8}{6} = \frac{AE}{x}$$

$$AE = \frac{8x}{6} = \frac{4x}{3}$$

$$\frac{BE}{AE} = \frac{BD}{AC}$$

$$\frac{x}{AE} = \frac{6}{8}$$

$$AE = \frac{8x}{6} = \frac{4x}{3}$$

$$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$$

$$\frac{x}{6} = \frac{4}{CD}$$

$$CD = \frac{24}{x}$$

$$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$$

$$CE = AC - AE = 8 - \frac{4x}{3} = \frac{24-4x}{3}$$

$$\frac{\frac{4x}{3}}{\frac{24-4x}{3}} = \frac{4}{\frac{24}{x}}$$

$$\frac{4x}{24-4x} = \frac{4x}{24}$$

$$24 \times 4x = 4x(24-4x)$$

$$96x = 96x - 16x^2$$

$$16x^2 = 0$$

$$x = 0$$

Учитывая, что треугольники ABE и CDE подобны, имеем:

$$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$$

$$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$$

Прямые AC и BD пересекают плоскость $$\alpha$$, значит можно применить теорему о пропорциональных отрезках:

$$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE}$$

$$\frac{BE}{6} = \frac{4}{8-4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$BE = 6$$

Ответ: 6 см