89 Точки А, В, С и Д не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников АВС и СВД пересекаются соответственно в точках М1 и М2. Докажите, что отрезки AD и М₁М2 параллельны.

Пусть медианы треугольников ABC и CBD пересекаются в точках $$M_1$$ и $$M_2$$ соответственно. $$M_1$$ и $$M_2$$ являются точками пересечения медиан треугольников, следовательно, делят медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть E - середина BC, F - середина CD. Тогда $$M_1$$ лежит на AE, а $$M_2$$ лежит на BF.

Рассмотрим тетраэдр ABCD. $$M_1M_2$$ - отрезок, соединяющий точки пересечения медиан граней ABC и CBD. Необходимо доказать, что $$AD \parallel M_1M_2$$.

По свойству медиан треугольника, $$AM_1:M_1E = 2:1$$ и $$BM_2:M_2F = 2:1$$.

В треугольнике ADE проведем отрезок $$M_1M_2$$.

Рассмотрим треугольник ACD. Пусть K - середина AC, L - середина AD.

Тогда KL - средняя линия треугольника ACD, KL || CD, KL = 1/2 CD.

Обозначим векторы $$\vec{AB} = \vec{b}$$, $$\vec{AC} = \vec{c}$$, $$\vec{AD} = \vec{d}$$.

Тогда $$\vec{AM_1} = \frac{1}{3} (\vec{b} + \vec{c})$$, $$\vec{AM_2} = \frac{1}{3} (\vec{c} + \vec{d})$$

$$\vec{M_1M_2} = \vec{AM_2} - \vec{AM_1} = \frac{1}{3} (\vec{c} + \vec{d}) - \frac{1}{3} (\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3} (\vec{d} - \vec{b})$$

$$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{b}$$

Следовательно, $$\vec{M_1M_2} = \frac{1}{3} \vec{AD}$$, то есть векторы $$\vec{M_1M_2}$$ и $$\vec{AD}$$ коллинеарны, а значит, отрезки AD и M₁M₂ параллельны.

Ответ: Доказано, что отрезки AD и М₁М2 параллельны.