Покажите, что значение выражения \(\left(\frac{2\cos\alpha}{1+\sin\alpha}+\frac{2\cos\alpha}{1-\sin\alpha}\right)\cos\alpha\) не зависит от \(\alpha\).

Объединим дроби. При допустимых значениях \(\alpha\) знаменатели не равны нулю:

\[\begin{aligned}\left(\frac{2\cos\alpha}{1+\sin\alpha}+\frac{2\cos\alpha}{1-\sin\alpha}\right)\cos\alpha&=\frac{2\cos\alpha\bigl((1-\sin\alpha)+(1+\sin\alpha)\bigr)}{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)}\cos\alpha\\&=\frac{4\cos^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}\\&=\frac{4\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=4.\end{aligned}\]

Ответ: значение выражения постоянно и равно 4.