22. Постройте график функции у = \begin{cases} 1,5x + 2, x < 1, \\ x^2 - 4x + 4, x > 1. \end{cases} Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m = 1 и m > 2.5

Разбираемся:

1. График функции:

График состоит из двух частей:

• Прямая y = 1.5x + 2 при x < 1
• Парабола y = x² - 4x + 4 при x > 1

Прямая y = 1.5x + 2 является линейной функцией, а парабола y = x² - 4x + 4 — квадратичной.

2. Построение графика прямой:

Чтобы построить график прямой y = 1.5x + 2, найдем две точки:

• При x = 0, y = 1.5 * 0 + 2 = 2
• При x = 1, y = 1.5 * 1 + 2 = 3.5

Так как x < 1, точка (1; 3.5) является выколотой.

3. Построение графика параболы:

Чтобы построить график параболы y = x² - 4x + 4, найдем вершину и несколько точек:

y = x² - 4x + 4 = (x - 2)²

• Вершина параболы: x = 2, y = 0 (точка (2; 0))
• При x = 1, y = (1 - 2)² = 1 (точка (1; 1) - выколотая)
• При x = 3, y = (3 - 2)² = 1 (точка (3; 1))
• При x = 4, y = (4 - 2)² = 4 (точка (4; 4))
4. Определение значений m:

Прямая y = m имеет две общие точки с графиком функции, если она проходит через:

• Точку (1; 1) параболы (y = 1).
• Или выше точки (2; 0) вершины параболы и до выколотой точки прямой y = 1.5x + 2, то есть m > 2.5.

Ответ: m = 1 и m > 2.5