Приведите к общему знаменателю дроби: 1+c²/c²-16 и c/4-c

Решение:

Данные дроби:

\[ \frac{1+c^2}{c^2-16} \quad \text{и} \quad \frac{c}{4-c} \]

Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ c^2 - 16 = (c-4)(c+4) \]

Заметим, что второй знаменатель \( 4-c \) является противоположным к \( c-4 \). То есть, \( 4-c = -(c-4) \).

Изменим знак числителя и знаменателя второй дроби, чтобы привести знаменатели к одному виду:

\[ \frac{c}{4-c} = \frac{-c}{-(4-c)} = \frac{-c}{c-4} \]

Теперь мы можем представить второй знаменатель как \( -(c-4)(c+4) \) для того, чтобы он стал общим с первым знаменателем, домножив числитель и знаменатель на \( -(c+4) \).

Однако, проще сделать общий знаменатель \( (c-4)(c+4) \). Для этого вторую дробь нужно привести к виду:

\[ \frac{c}{4-c} = \frac{c}{-(c-4)} = \frac{-c}{c-4} \]

Теперь умножим числитель и знаменатель на \( (c+4) \):

\[ \frac{-c \cdot (c+4)}{(c-4) \cdot (c+4)} = \frac{-c^2 - 4c}{c^2 - 16} \]

Первая дробь уже имеет знаменатель \( c^2 - 16 \) (или \( (c-4)(c+4) \)).

Таким образом, дроби приведены к общему знаменателю \( c^2 - 16 \).

Ответ: \( \frac{1+c^2}{c^2-16} \quad \text{и} \quad \frac{-c^2 - 4c}{c^2-16} \).