Упростите: 3a⁴b³ / 10c⁵ × 4b⁴c² / 27a⁷ : 5b⁷ / 9a³c³

Решение:

Для упрощения выражения выполним умножение и деление дробей.

1. Запишем умножение:

\( \frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a^4b^3b^4c^2}{10 \cdot 27 \cdot c^5a^7} = \frac{12a^4b^7c^2}{270a^7c^5} \)

2. Сократим дробь:

\( \frac{12a^4b^7c^2}{270a^7c^5} = \frac{12}{270} \times \frac{a^4}{a^7} \times \frac{b^7}{c^5} \times \frac{c^2}{1} = \frac{2}{45} \times \frac{1}{a^3} \times \frac{b^7}{c^3} = \frac{2b^7}{45a^3c^3} \)

3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

\( \frac{2b^7}{45a^3c^3} : \frac{5b^7}{9a^3c^3} = \frac{2b^7}{45a^3c^3} \times \frac{9a^3c^3}{5b^7} \)

4. Сократим получившееся выражение:

\( \frac{2b^7 \cdot 9a^3c^3}{45a^3c^3 \cdot 5b^7} = \frac{2 \cdot 9}{45 \cdot 5} \times \frac{a^3}{a^3} \times \frac{b^7}{b^7} \times \frac{c^3}{c^3} = \frac{18}{225} \)

5. Сократим дробь \( \frac{18}{225} \) на 9:

\( \frac{18 \div 9}{225 \div 9} = \frac{2}{25} \)

Ответ: \( \frac{2}{25} \).