276 Проводится серия из и испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. а) При каком р дисперсия числа успехов наибольшая возможная? б) Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов? Указание. Рассмотрите выражение для дисперсии DS пра как квадратный трёхчлен от р: yn(pp²).

Дисперсия числа успехов в серии испытаний Бернулли описывается формулой: \[D = n \cdot p \cdot (1 - p)\]

Чтобы найти, при каком p дисперсия будет наибольшей, нужно найти максимум функции f(p) = n ⋅ p ⋅ (1 - p).

Найдем производную f'(p) = n ⋅ (1 - p) - n ⋅ p = n - 2np = n(1 - 2p).

Приравняем производную к нулю: n(1 - 2p) = 0, отсюда p = 0,5.

Чтобы убедиться, что это максимум, возьмем вторую производную f''(p) = -2n. Так как n > 0, вторая производная отрицательна, значит, p = 0,5 является точкой максимума.

Теперь найдем наибольшее возможное стандартное отклонение. Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

\[\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\]

Подставим p = 0,5: \[\sigma = \sqrt{n \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5)} = \sqrt{n \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{0.25n} = 0.5\sqrt{n}\]

Ответ: а) p = 0,5, б) наибольшее возможное стандартное отклонение равно \[0.5\sqrt{n}\]