пр...творяться больным

Применим протокол А.

1. Определим орфограмму: Правописание приставок ПРЕ- и ПРИ-.
2. Сформулируем правило: Приставка ПРИ- пишется, когда имеет значение приближения, присоединения, неполноты действия, нахождения вблизи. Приставка ПРЕ- пишется, когда имеет значение, близкое к слову "очень" или приставке ПЕРЕ-.
3. Разберем слово:

1. пр...творяться
2. приставка - ..., корень - твор, суффиксы - я, окончание - ть, постфикс - ся
3. Приставка ПРЕ- или ПРИ-? В данном случае приставка имеет значение неполноты действия.
4. Сравниваем варианты: притворяться

Вывод: пишем букву И, так как приставка имеет значение неполноты действия.

Ответ: притворяться больным