137 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках Ми М. Докажите, что треугольник AMN - равнобедренный.

Пусть дан треугольник △ABC, AD - биссектриса угла A, MN ⊥ AD, M ∈ AB, N ∈ AC.

Рассмотрим треугольники △AMD и △AND.

1. AD - общая сторона.
2. ∠MAD = ∠NAD (т.к. AD - биссектриса угла A).
3. ∠MDA = ∠NDA = 90° (т.к. MN ⊥ AD).

Следовательно, △AMD = △AND по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AM = AN.

Следовательно, △AMN - равнобедренный (по определению).

Ответ: треугольник AMN - равнобедренный.