141 В треугольниках ABD и ACD AB = AC, BD = DC, точки Ви С лежат по разные стороны от прямой AD. Найдите угол CAD, если ВАС = 50°.

Рассмотрим треугольники △ABD и △ACD.

1. AB = AC (по условию).
2. BD = DC (по условию).
3. AD - общая сторона.

Следовательно, △ABD = △ACD по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что ∠BAD = ∠CAD.

Так как AB = AC, то △ABC - равнобедренный (по определению).

Следовательно, ∠ABC = ∠ACB.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Тогда ∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 50°) / 2 = 130° / 2 = 65°.

Сумма углов треугольника ABD равна 180°.

Тогда ∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD.

Сумма углов треугольника ACD равна 180°.

Тогда ∠ADC = 180° - ∠CAD - ∠ACD.

Так как ∠BAD = ∠CAD, ∠ABD = ∠ACD, то ∠ADB = ∠ADC.

Сумма углов ∠ADB и ∠ADC равна 180° (т.к. точки B и C лежат по разные стороны от прямой AD).

Тогда ∠ADB = ∠ADC = 180° / 2 = 90°.

Сумма углов треугольника ABD равна 180°.

Тогда ∠BAD = 180° - ∠ADB - ∠ABD = 180° - 90° - 65° = 25°.

Так как ∠BAD = ∠CAD, то ∠CAD = 25°.

Ответ: ∠CAD = 25°.