290 Прямые а и в параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХУ, где Хєа, Үєв, лежат на прямой, параллельной прямым а и в и равноудалённой от этих прямых.

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и пусть X - точка на прямой a, а Y - точка на прямой b. M - середина отрезка XY. Нужно доказать, что все точки M лежат на прямой, параллельной a и b и равноудаленной от них. Проведем через точку M прямую c, параллельную a и b. Опустим перпендикуляры XA и YB на прямую c. Рассмотрим треугольники XAM и YBM. У них XM = MY (M - середина XY). Угол XMA = углу YMB (как вертикальные). Угол XAM = углу YBM (как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей XY). Значит, треугольники XAM и YBM равны по стороне и двум прилежащим углам (XM = MY, угол XMA = углу YMB, угол XAM = углу YBM). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: XA = YB. Следовательно, прямая c равноудалена от прямых a и b. Так как прямая c проходит через середину любого отрезка XY, где X лежит на a, а Y - на b, то все середины отрезков XY лежат на прямой c. Таким образом, середины всех отрезков XY лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудаленной от этих прямых.

Ответ: Доказано.