Радиус основания конуса равен 10 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми 30° и площадь боковой поверхности конуса.

1. **Анализ задачи:** * Дано: радиус основания конуса (r = 10) см, угол наклона образующей к плоскости основания 45°. * Надо найти: * Площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми 30°. * Площадь боковой поверхности конуса. 2. **Нахождение высоты конуса:** * Образующая, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник. * Так как угол между образующей и основанием 45°, то высота конуса (h) равна радиусу основания: (h = r = 10) см. 3. **Нахождение образующей:** * Образующую (l) найдем по теореме Пифагора: (l^2 = r^2 + h^2 = 10^2 + 10^2 = 200), (l = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}) см. 4. **Площадь сечения, проходящего через 2 образующие с углом 30°:** * Площадь сечения - это площадь треугольника со сторонами, равными образующей (l), и углом между ними 30°. * Площадь треугольника (S_{треуг.} = \frac{1}{2} l^2 \sin \alpha), где \alpha - угол между образующими * (S_{сеч.} = \frac{1}{2} (10\sqrt{2})^2 \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot \frac{1}{2} = 50) см² 5. **Нахождение площади боковой поверхности конуса:** * Площадь боковой поверхности (S_{бок.} = \pi r l) * (S_{бок.} = \pi \cdot 10 \cdot 10\sqrt{2} = 100\sqrt{2}\pi) см² **Ответ:** Площадь сечения равна 50 см², площадь боковой поверхности конуса равна (100\sqrt{2}\pi) см².