5. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции: a) 2x²-5x-3≥0; б) х²+6x+12>0; в) х²-16≤0.

а) Решим неравенство с помощью графика квадратичной функции:

$$ 2x^2 - 5x - 3 \ge 0 $$

Найдем корни квадратного трехчлена:

$$ 2x^2 - 5x - 3 = 0 $$

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 $$

$$ x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{5 + 7}{4} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2} $$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, решением неравенства будет:

$$ x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [3; +\infty) $$

б) Решим неравенство с помощью графика квадратичной функции:

$$ x^2 + 6x + 12 > 0 $$

Найдем корни квадратного трехчлена:

$$ x^2 + 6x + 12 = 0 $$

$$ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12 $$

Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трехчлен не имеет корней. Следовательно, парабола не пересекает ось абсцисс. Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то ветви параболы направлены вверх, и функция всегда больше нуля:

$$ x \in (-\infty; +\infty) $$

в) Решим неравенство с помощью графика квадратичной функции:

$$ x^2 - 16 \le 0 $$

Найдем корни квадратного трехчлена:

$$ x^2 - 16 = 0 $$

$$ x^2 = 16 $$

$$ x_1 = 4 $$

$$ x_2 = -4 $$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, решением неравенства будет:

$$ x \in [-4; 4] $$

Ответ: a) $$x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [3; +\infty)$$, б) $$x \in (-\infty; +\infty)$$, в) $$x \in [-4; 4]$$