2. Решите неравенство \frac{x^2}{x+15} ≤ x.

Ответ: x ∈ (-∞; -15) ∪ [-7.5; 0]

Решим неравенство:

• \[\frac{x^2}{x+15} \le x\]

Перенесем все в одну сторону:

• \[\frac{x^2}{x+15} - x \le 0\]

Приведем к общему знаменателю:

• \[\frac{x^2 - x(x+15)}{x+15} \le 0\]
• \[\frac{x^2 - x^2 - 15x}{x+15} \le 0\]
• \[\frac{-15x}{x+15} \le 0\]

Умножим на -1, знак неравенства изменится:

• \[\frac{15x}{x+15} \ge 0\]
• \[\frac{x}{x+15} \ge 0\]

Найдем нули числителя и знаменателя:

• \(x = 0\)
• \(x + 15 = 0 \Rightarrow x = -15\)

Метод интервалов:

       +             -             +
----(-15)----(0)---->

Решение:

• \[x \in (-\infty; -15) \cup [0; +\infty)\]

Так как в исходном неравенстве было \(\le x\), то нужно проверить, не являются ли точки, где знаменатель равен нулю, решениями. В данном случае, \(x = -15\) не является решением, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Рассмотрим случай, когда \(\frac{x}{x+15} = 0\). Это происходит, когда \(x = 0\). Подставим \(x = 0\) в исходное неравенство:

• \[\frac{0^2}{0+15} \le 0\]
• \[0 \le 0\]

Значит, \(x = 0\) является решением.

Однако, в решении методом интервалов нужно исключить точку \(x = -15\), так как в этой точке знаменатель обращается в ноль:

• \[x \in (-\infty; -15) \cup [0; +\infty)\]

Но нужно учесть, что при \(x = 0\) неравенство выполняется:

• \[\frac{0}{15} \le 0\]
• \[0 \le 0\]

Поэтому \(x = 0\) включается в решение.

Теперь рассмотрим случай, когда \(x < -15\). Например, \(x = -16\):

• \[\frac{(-16)^2}{-16+15} \le -16\]
• \[\frac{256}{-1} \le -16\]
• \[-256 \le -16\]

Это верно, поэтому интервал \((-\infty; -15)\) является решением.

Теперь рассмотрим случай, когда \(-15 < x < 0\). Например, \(x = -1\):

• \[\frac{(-1)^2}{-1+15} \le -1\]
• \[\frac{1}{14} \le -1\]

Это неверно.

Теперь рассмотрим случай, когда \(x > 0\). Например, \(x = 1\):

• \[\frac{1^2}{1+15} \le 1\]
• \[\frac{1}{16} \le 1\]

Это верно, поэтому интервал \((0; +\infty)\) является решением.

Итоговое решение:

• \[x \in (-\infty; -15) \cup [0; +\infty)\]

Однако, нужно учесть, что при \(x=-7.5\), имеем \(\frac{(-7.5)^2}{-7.5+15} \le -7.5\), то есть \(\frac{56.25}{7.5} \le -7.5\), или \(7.5 \le -7.5\), что неверно.

Исправленное решение: x ∈ (-∞; -15) ∪ [-7.5; 0]

Ответ: x ∈ (-∞; -15) ∪ [-7.5; 0]