5. Решите неравенство \frac{1}{x} ≥ \frac{1}{x+6}

Ответ: x ∈ (-∞; -6) ∪ (0; +∞)

Решим неравенство:

• \[\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x+6}\]

Перенесем все в одну сторону:

• \[\frac{1}{x} - \frac{1}{x+6} \ge 0\]

Приведем к общему знаменателю:

• \[\frac{x+6 - x}{x(x+6)} \ge 0\]
• \[\frac{6}{x(x+6)} \ge 0\]

Разделим на 6:

• \[\frac{1}{x(x+6)} \ge 0\]
• \[\frac{1}{x(x+6)} > 0\]

Найдем нули знаменателя:

• \(x = 0\)
• \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\)

Метод интервалов:

       +             -             +
----(-6)----(0)---->

Нужно найти интервалы, где выражение больше нуля:

• \[x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)\]

Ответ: x ∈ (-∞; -6) ∪ (0; +∞)