440 10. Решите уравнение (х²+2x+3)217(x² + 2x + 3) = 18. В ответ запишите целые корни уравнения, удовлетво-ряющие неравенству х≤ 4.

Решим уравнение $$(x^2+2x+3)^2 - 17(x^2+2x+3) = 18$$.

Пусть $$t = x^2 + 2x + 3$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 17t - 18 = 0$$.

Решим квадратное уравнение относительно t. Используем теорему Виета: $$t_1 + t_2 = 17$$ и $$t_1 \cdot t_2 = -18$$.

Корни: $$t_1 = 18$$ и $$t_2 = -1$$.

Теперь решим два уравнения:

1. $$x^2 + 2x + 3 = 18$$ $$x^2 + 2x - 15 = 0$$ Используем теорему Виета: $$x_1 + x_2 = -2$$ и $$x_1 \cdot x_2 = -15$$. Корни: $$x_1 = 3$$ и $$x_2 = -5$$.
2. $$x^2 + 2x + 3 = -1$$ $$x^2 + 2x + 4 = 0$$ Дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$$. Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, у нас есть два корня: $$x_1 = 3$$ и $$x_2 = -5$$.

Необходимо выбрать целые корни, удовлетворяющие неравенству $$|x| \le 4$$, то есть $$-4 \le x \le 4$$.

$$x_1 = 3$$ удовлетворяет неравенству, так как $$-4 \le 3 \le 4$$.

$$x_2 = -5$$ не удовлетворяет неравенству, так как $$-4 \le -5 \le 4$$ неверно.

Ответ: 3