9. Внутри угла В, равного 60°, взята точка К. Расстояния от точки К до сторон угла равны 2 см и 3 см. Найдите расстояние от точки К до вершины угла В.

Обозначим расстояние от точки К до вершины угла В как x. Пусть расстояния от точки К до сторон угла равны 2 см и 3 см, обозначим их как $$d_1 = 2$$ см и $$d_2 = 3$$ см. Угол В равен 60°.

Для решения задачи воспользуемся формулой расстояния от точки до вершины угла: $$x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{d_1^2 + d_2^2 + d_1 d_2}$$

Подставим значения: $$x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2^2 + 3^2 + 2 \cdot 3} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{4 + 9 + 6} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{19} = 2 \sqrt{\frac{19}{3}} \approx 5.03$$ см.

Также можно использовать формулу:

$$x = \sqrt{\frac{d_1^2 + d_2^2 - 2 d_1 d_2 \cos(120)}{(\sin(\alpha))^2}}$$, где $$\alpha$$ угол равен 60 градусов. Тогда $$cos(120) = -0.5$$ а $$sin(60) = \sqrt{3} /2 $$.

Тогда $$ x= \sqrt{\frac{4+9 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (-0.5)}{(\sqrt{3} /2)^2}} = \sqrt{\frac{13 + 6}{\frac{3}{4}}} = \sqrt{\frac{19 \cdot 4}{3}} = \sqrt{\frac{76}{3}} = 2 \sqrt{\frac{19}{3}} \approx 5.03$$

Ответ: $$2 \sqrt{\frac{19}{3}}$$ см или приблизительно 5.03 см.