С-12. 1. Докажите, что при параллельном проектировании сохраняется порядок точек на прямой. 2. Сторона MN плоского четырехугольника MNPQ лежит в плоскости α (см. рисунок); точки P и Q расположены по разные стороны от плоскости α. Постройте точку пересечения прямой PQ с плоскостью α.

1. Параллельное проектирование на плоскость вдоль фиксированного направления переводит прямую, не параллельную направлению проектирования, в прямую. На этой прямой проектирование действует как отображение с постоянным направлением и сохраняет порядок точек: если B лежит между A и C, то их проекции A′, B′, C′ лежат на одной прямой, причём B′ находится между A′ и C′. При проектировании в направлении, параллельном самой прямой, её проекция вырождается в точку; в таком случае порядок различимых проекций не определяется.

2. Прямая MN лежит в плоскости α, поэтому M ∈ α. Точка P лежит на прямой MNРQ? По рисунку четырёхугольника MNPQ диагональ PQ пересекает MN в точке X. Прямая PQ и MN лежат в плоскости четырёхугольника; поскольку P и Q по разные стороны α, прямая PQ пересекает α в точке X, где она пересекает MN. Чтобы построить точку: продлите стороны MN и PQ до пересечения; их точка пересечения и есть искомая. Если стороны не пересекаются на листе, продлите их мысленно или линейкой.