С-4. 1. Через вершины A и C параллелограмма ABCD и середину диагонали BD проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью параллелограмма? 2. Две плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая a лежит в плоскости α, прямая b — в плоскости β. Эти прямые пересекаются в точке A. Докажите, что точка A лежит на прямой m.

1. Да. Плоскость, проходящая через A и C, содержит прямую AC. Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому середина диагонали BD — это O. Точки A, O лежат на диагонали AC, следовательно, заданные три точки принадлежат плоскости параллелограмма. Они не лежат на одной прямой, поэтому через них проходит именно эта плоскость.

2. Точка A принадлежит прямой a, лежащей в α, значит, A ∈ α. Также A принадлежит b, лежащей в β, значит, A ∈ β. Общие точки плоскостей α и β образуют их линию пересечения m. Поэтому A ∈ m.