С2. Из точки O пересечения диагоналей квадрата ABCD к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM так, что ∠OBM = 45°. Найдите косинус угла ABM.

Так как OM перпендикулярна плоскости квадрата, треугольник BOM прямоугольный при O. Угол OBM равен 45°, поэтому треугольник BOM равнобедренный и \(OM=OB\).

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда \(OB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\), а из прямоугольного треугольника BOM следует \(BM=OB\sqrt{2}=a\).

Диагональ BO образует со стороной BA угол 45°. Используя координаты вершин квадрата либо разложение векторов BA и BM, получаем \(\cos\angle ABM=\dfrac{1}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{1}{2}\).