С4. В кубе со стороной a найдите расстояние между прямыми DB₁ и CC₁.

Введём координаты: \(D(0,a,0)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C(a,a,0)\), \(C_1(a,a,a)\). Направляющие векторы прямых DB₁ и CC₁ соответственно \((a,-a,a)\) и \((0,0,a)\).

Общий перпендикуляр направлен вдоль вектора \((1,1,0)\): он перпендикулярен обоим указанным направляющим векторам. Расстояние между прямыми равно длине проекции вектора DC на направление этого перпендикуляра:

\(d=\dfrac{|(a,0,0)\cdot(1,1,0)|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).