42. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 30 м. На какой высоте его кинетическая энергия будет вдвое меньше потенциальной? За нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии принять поверхность Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Полная механическая энергия тела (E) в любой момент времени равна сумме его кинетической (K) и потенциальной (P) энергий: $$ E = K + P $$

В начальный момент времени тело обладает только потенциальной энергией: $$ E = mgh $$, где m - масса тела, g - ускорение свободного падения, h - высота падения.

В любой момент времени: $$ mgh = K + P $$

По условию, кинетическая энергия вдвое меньше потенциальной: $$ K = \frac{1}{2}P $$. Тогда:

$$ mgh = \frac{1}{2}P + P = \frac{3}{2}P $$

Потенциальная энергия тела на высоте h1 равна: $$ P = mgh_1 $$. Тогда:

$$ mgh = \frac{3}{2}mgh_1 $$

Выразим h1:

$$ h_1 = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot 30 \,\text{м} = 20 \,\text{м} $$

Ответ: 20 м.