28. Тип 9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, ВС = 5 cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}. Найдите АС.

Разбираемся:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, cos A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB: \[cos A = \frac{AC}{AB}\]
2. Нам дан катет BC = 5, противолежащий углу A. Запишем синус угла A: \[sin A = \frac{BC}{AB}\]
3. Выразим AB через синус: \[AB = \frac{BC}{sin A}\]
4. Выразим синус через косинус: \[sin A = \sqrt{1 - cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{25}} = \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]
5. Подставим известные значения в выражение для AB: \[AB = \frac{5}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{25}{2\sqrt{5}} = \frac{25\sqrt{5}}{10} = \frac{5\sqrt{5}}{2}\]
6. Теперь выразим AC через косинус: \[AC = AB \cdot cos A = \frac{5\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}\]