29. Тип 9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, ВС = 25. COSA = \frac{12}{13}. Найдите АС.

Разбираемся:

1. Определим гипотенузу AB, зная BC = 25 и cos A = \frac{12}{13}. \[cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}\]
2. Найдём синус угла A: \[sin^2 A + cos^2 A = 1\]\[sin A = \sqrt{1 - cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\]
3. Теперь найдём гипотенузу AB, используя BC: \[sin A = \frac{BC}{AB}\]\[AB = \frac{BC}{sin A} = \frac{25}{\frac{5}{13}} = \frac{25 \cdot 13}{5} = 5 \cdot 13 = 65\]
4. Найдём AC по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{65^2 - 25^2} = \sqrt{4225 - 625} = \sqrt{3600} = 60\]