16. Тип 9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, ВС = 2 cosA = \frac{\sqrt{17}}{17} Найдите АС

Разбираемся:

1. В прямоугольном треугольнике ABC косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB: \[cos A = \frac{AC}{AB}\]
2. Также, нам известен катет BC, противолежащий углу A. Тогда тангенс угла A можно выразить как: \[tan A = \frac{BC}{AC}\]
3. И косинус, и тангенс угла A нам известны. Можем найти AC. Сначала выразим AC через BC и тангенс угла A: \[AC = \frac{BC}{tan A}\]
4. Нужно выразить tan A через cos A, используя тригонометрическое тождество: \[tan A = \frac{\sqrt{1 - cos^2 A}}{cos A}\]
5. Подставляем известное значение cos A = \frac{\sqrt{17}}{17}: \[tan A = \frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{17}}{17})^2}}{\frac{\sqrt{17}}{17}} = \frac{\sqrt{1 - \frac{17}{289}}}{\frac{\sqrt{17}}{17}} = \frac{\sqrt{\frac{272}{289}}}{\frac{\sqrt{17}}{17}} = \frac{\sqrt{\frac{16 \cdot 17}{289}}}{\frac{\sqrt{17}}{17}} = \frac{\frac{4\sqrt{17}}{17}}{\frac{\sqrt{17}}{17}} = 4\]
6. Теперь можем найти AC, используя BC = 2 и tan A = 4: \[AC = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]