Точка C лежит на отрезке AB, причём AB : BC = 4 : 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку B. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке E, и найдите отрезок BE.

Из AB : BC = 4 : 3 и C ∈ AB следует AC : CB = 1 : 3, поэтому AB : AC = 4 : 1.

Рассмотрим плоскость ACD. Она пересекает α по прямой, проходящей через B и точку E пересечения AD с α. Поскольку CD ∥ α, линия пересечения плоскостей параллельна CD: BE ∥ CD. В треугольнике ACD из BE ∥ CD следует подобие △ABE ∼ △ACD.

Тогда BE/CD = AB/AC = 4, откуда BE = 4 · 12 = 48 см. В частности, AD пересекает α в точке E.

Ответ: BE = 48 см.