6. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла Z треугольника OZM к гипотенузе OM. Найдите OZ, если OH = 9, OM = 36.

В прямоугольном треугольнике OZM высота ZH, проведенная к гипотенузе OM, разбивает треугольник на два подобных треугольника: OZH и ZHM, каждый из которых подобен исходному треугольнику OZM. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: \(ZH^2 = OH \cdot HM\). Найдем HM: HM = OM - OH = 36 - 9 = 27. Тогда \(ZH^2 = 9 \cdot 27 = 243\), откуда \(ZH = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}\). Теперь рассмотрим треугольник OZH, который является прямоугольным. Используем теорему Пифагора для нахождения OZ: \[OZ^2 = OH^2 + ZH^2 = 9^2 + (9\sqrt{3})^2 = 81 + 243 = 324\] \[OZ = \sqrt{324} = 18\] Ответ: OZ = 18.