Точка M – середина ребра CC₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁. Найдите высоту призмы, если BM = 10, AB = 6.

Так как M — середина ребра CC₁, то CM = MC₁. Рассмотрим треугольник BMC. Призма правильная, поэтому основание - равносторонний треугольник. Значит, AC = BC = AB = 6. Угол BCC₁ прямой, т.к. призма прямая. Опустим перпендикуляр M на основание. Проекция M на плоскость ABC - это середина ребра C. Назовём эту проекцию M'. Тогда BM’ это медиана равностороннего треугольника, а высота призмы - это MM'. $$BM^2 = BM'^2 + MM'^2$$ Найдем BM'. Высота равностороннего треугольника со стороной a = (a*sqrt(3))/2. Значит высота CM' равна (6*sqrt(3))/2 = 3*sqrt(3) Теперь рассмотрим треугольник BMM'. MM’ = h (высота призмы). B’M’ это медиана треугольника ABC, B’M’ = (6*sqrt(3))/2= 3sqrt(3) $$BM^2 = (3\sqrt{3})^2 + h^2$$, $$10^2 = (3\sqrt{3})^2 + h^2$$. $$100 = 27 + h^2$$ $$h^2 = 100 - 27$$ $$h^2 = 73$$ $$h = \sqrt{73}$$ Так как М - середина СС1, то высота призмы будет 2 * MM' = 2 * sqrt(73). Ошибка! M - середина ребра CC1. Проекция точки M на плоскость ABC это середина ребра C. BM'^2 = BC^2 + CM'^2. CM’ = CC1/2. По теореме Пифагора BM^2 = CM'^2 + BC^2, 100 = (h/2)^2 + (3sqrt(3))^2 = h^2/4 + 27, h^2/4=73, h^2 = 4*73=292, h=sqrt(292)=2*sqrt(73). Ответ: $$2\sqrt{7}$$