Упростить: 4) $$(\text{tg} x + \text{ctg} x)\sin 2x$$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $$\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ Тогда: $$(\text{tg} x + \text{ctg} x)\sin 2x = (\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x})\sin 2x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} \sin 2x$$ Используем основное тригонометрическое тождество $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ и формулу двойного угла $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$: $$\frac{1}{\sin x \cos x} \cdot 2\sin x \cos x = 2$$ Ответ: 2