Упростите \(\frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^5c^3}\)

Решение:

Для упрощения выражения последовательно выполним умножение и деление.

1. Умножение дробей:
   \(\frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a^4 \cdot b^3 \cdot b^4 \cdot c^2}{10 \cdot 27 \cdot a^7 \cdot c^5} = \frac{12 a^4 b^7 c^2}{270 a^7 c^5}\)
2. Сокращение дроби после умножения:
   \(\frac{12 a^4 b^7 c^2}{270 a^7 c^5} = \frac{2 b^7}{45 a^3 c^3}\) (делим числитель и знаменатель на 6, \(a^4\), \(c^2\))
3. Деление на дробь (умножение на обратную дробь):
   \(\frac{2 b^7}{45 a^3 c^3} : \frac{5b^7}{9a^5c^3} = \frac{2 b^7}{45 a^3 c^3} \times \frac{9a^5c^3}{5b^7}\)
4. Умножение и окончательное сокращение:
   \(\frac{2 \cdot 9 \cdot a^5 \cdot b^7 \cdot c^3}{45 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot b^7 \cdot c^3} = \frac{18 a^5 b^7 c^3}{225 a^3 b^7 c^3}\)
   Сокращаем на \(18\), \(a^3\), \(b^7\), \(c^3\):
   \(\frac{18}{225} = \frac{2 \cdot 9}{25 \cdot 9} = \frac{2}{25}\)
   \(\frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2\)
   \(\frac{b^7}{b^7} = 1\)
   \(\frac{c^3}{c^3} = 1\)
   Итого: \(\frac{2}{25} a^2\)

Ответ: \(\frac{2 a^2}{25}\).