5.3. Упростите выражение $$\frac{1}{\tan \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$$;

Заменим $$\frac{1}{\tan \alpha}$$ на $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$. Затем приведем к общему знаменателю: $$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha (1 + \cos \alpha) + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{1}{\sin \alpha}$$. Итоговый ответ: **$$\frac{1}{\sin \alpha}$$**