8) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 30°. Найдите объем пирамиды.

**Решение:** 1. **Обозначим высоту пирамиды:** \(h = 8\) см. 2. **Двугранный угол при основании равен 30°:** Это угол между боковой гранью и основанием пирамиды. 3. **Найдем сторону основания \(a\):** Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой (высотой боковой грани) и половиной стороны основания. Тангенс угла 30° равен отношению высоты к половине стороны основания: \(\tan 30^\circ = \frac{h}{a/2} = \frac{2h}{a}\) \(a = \frac{2h}{\tan 30^\circ} = \frac{2 \cdot 8}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 16\sqrt{3}\) см. 4. **Найдем площадь основания:** \(S_{осн} = a^2 = (16\sqrt{3})^2 = 256 \cdot 3 = 768\) см². 5. **Найдем объем пирамиды:** \(V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 768 \cdot 8 = 256 \cdot 8 = 2048\) см³. **Ответ:** Объем пирамиды равен 2048 см³.