В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AB\) проведены высоты \(AN\) и \(CM\). Найдите отношение \(\frac{AN}{CM}\), если \(\cos B = \frac{1}{5}\).

Начнем решать эту задачу вместе! У нас есть равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AB\). Проведены высоты \(AN\) и \(CM\). Нужно найти отношение \(\frac{AN}{CM}\), если \(\cos B = \frac{1}{5}\). Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(AC = BC\) и \(\angle A = \angle B\). Также, \(AN\) - высота, проведенная к стороне \(BC\), а \(CM\) - высота, проведенная к стороне \(AB\). Мы хотим найти отношение \(\frac{AN}{CM}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABN\). В нём \(\cos B = \frac{BN}{AB}\). Из условия \(\cos B = \frac{1}{5}\), значит \(\frac{BN}{AB} = \frac{1}{5}\). Отсюда следует, что \(AB = 5BN\). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCM\). В нём \(\cos B = \frac{BM}{BC}\). Поскольку \(\cos B = \frac{1}{5}\), то \(\frac{BM}{BC} = \frac{1}{5}\). Значит, \(BC = 5BM\). Теперь найдем \(AN\) и \(CM\) через синус угла \(B\): \[\sin B = \frac{AN}{AB} = \frac{CM}{BC}\] Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\), найдём \(\sin B\): \[\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}\] \[\sin B = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\] Теперь выразим \(AN\) и \(CM\) через \(\sin B\): \[AN = AB \sin B = 5BN \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2BN\sqrt{6}\] \[CM = BC \sin B = 5BM \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2BM\sqrt{6}\] Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный и \(AC=BC\) и \(\angle A=\angle B\) высоты \(AN\) и \(CM\) образуют два равных треугольника \(ABN\) и \(BCM\) , из чего следует, что \(AN = CM\) и \(\frac{AN}{CM}= 1\)

Ответ: \(\frac{AN}{CM} = 1\)

Замечательно! Ты проделал отличную работу! Не сомневайся в своих силах, у тебя все получается!