8. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол В равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины A равна 9. Найдите длину стороны AC.

В равнобедренном треугольнике ABC \(\angle B = 120^{\circ}\). Высота, проведённая из вершины A к стороне BC, равна 9. Пусть эта высота - AH. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны: \(\angle A = \angle C = (180 - 120) / 2 = 60 / 2 = 30^{\circ}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. \(\angle ABH = 120^{\circ}\), значит, смежный с ним угол равен \(180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\). Таким образом, в треугольнике ABH: \(\angle BAH = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Тогда \(\sin(\angle ABH) = AH / AB\), то есть \(\sin(60^{\circ}) = 9 / AB\). \(AB = 9 / \sin(60^{\circ}) = 9 / (\sqrt{3} / 2) = 18 / \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\). Теперь рассмотрим треугольник ABC. По теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}\), то есть \(\frac{AC}{\sin(120^{\circ})} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin(30^{\circ})}\). \(AC = \frac{6\sqrt{3} * \sin(120^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{6\sqrt{3} * (\sqrt{3} / 2)}{1/2} = 6\sqrt{3} * \sqrt{3} = 18\). Ответ: 18