262 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ – прямые, BD и B₁D₁– биссектрисы. Докажите, что ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, если ∠B=∠B₁ и BD = B₁D₁.

Пусть даны треугольники ABC и А₁В₁С₁, угол А = углу А₁ = 90°, BD и B₁D₁ - биссектрисы. Угол B = углу B₁, BD = B₁D₁.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁.

BD = B₁D₁ (по условию).

Угол ABD = углу A₁B₁D₁ (BD и B₁D₁ - биссектрисы, угол B = углу B₁).

Угол А = углу А₁ = 90° (по условию).

Значит, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу.

Следовательно, AB = A₁B₁ (как соответственные элементы в равных треугольниках).

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

AB = A₁B₁ (доказано выше).

Угол B = углу B₁ (по условию).

Угол А = углу А₁ = 90° (по условию).

Значит, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: Доказано.