Вариант 1. 4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK = ∠FMK.

Рассмотрим треугольники \(ECK\) и \(FCK\).

1. \(EK=FK\) по условию.
2. \(EC=FC\) по условию.
3. \(CK\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle ECK=\triangle FCK\) по трём сторонам. Значит, \(\angle ECK=\angle KCF\).

Точки \(M,K,C\) лежат на одной прямой, поэтому лучи \(CK\) и \(CM\) совпадают, а значит, \(\angle ECM=\angle MCF\).

Кроме того, из равенства треугольников следует, что точки \(E\) и \(F\) симметричны относительно прямой \(CK\), поэтому и точки \(M\), лежащие на этой прямой, равноудалены от \(E\) и \(F\). Следовательно, \(\triangle EKM=\triangle FKM\) по трём сторонам, откуда

\[\angle EMK=\angle FMK\]

Ответ: \(\angle EMK=\angle FMK\).