Вариант 1, Задача 2: Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, BD = 16 см. На стороне AB взята точка K так, что OK \(\perp\) AB и OK = 4\(\sqrt{3}\) см. Найдите сторону ромба и вторую диагональ.

Решение: Пусть сторона ромба равна a, тогда половина диагонали BD равна 8 см. Площадь ромба можно выразить как половину произведения его диагоналей, либо как произведение стороны на высоту, проведённую к этой стороне (в данном случае OK). Площадь ромба: \(S = a * OK = a * 4\sqrt{3}\) Пусть AC = x, тогда \(S = \frac{1}{2} * BD * AC = \frac{1}{2} * 16 * x = 8x\) Получаем уравнение: \(a * 4\sqrt{3} = 8x\), откуда \(x = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора: \(a^2 = 8^2 + (\frac{x}{2})^2\), подставляем x: \(a^2 = 64 + \frac{3a^2}{16}\) \(16a^2 = 1024 + 3a^2\) \(13a^2 = 1024\) \(a^2 = \frac{1024}{13}\) \(a = \sqrt{\frac{1024}{13}} = \frac{32}{\sqrt{13}} = \frac{32\sqrt{13}}{13}\) см. Тогда \(x = \frac{\frac{32\sqrt{13}}{13} * \sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{39}}{13}\). AC = 2x = \(\frac{32\sqrt{39}}{13}\) Ответ: Сторона ромба равна \(\frac{32\sqrt{13}}{13}\) см, вторая диагональ равна \(\frac{32\sqrt{39}}{13}\) см.