Вариант 2, Задача 1: Дано: BD = 3,1 см, BE = 4,2 см, BA = 9,3 см, BC = 12,6 см. Доказать: DE || AC. Найти: a) DE : AC; б) P_{ABC} : P_{DBE}; в) S_{DBE} : S_{ABC}.

Решение: Чтобы доказать, что DE || AC, нужно проверить, пропорциональны ли стороны треугольников BDE и BAC. Проверим соотношение сторон: \(\frac{BD}{BA} = \frac{3.1}{9.3} = \frac{1}{3}\), \(\frac{BE}{BC} = \frac{4.2}{12.6} = \frac{1}{3}\). Так как \(\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC}\) и угол B общий для обоих треугольников, то треугольники BDE и BAC подобны по первому признаку подобия треугольников. Из подобия треугольников следует, что DE || AC. а) Из подобия треугольников следует, что \(\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BA} = \frac{1}{3}\), то есть DE : AC = 1 : 3. б) Так как треугольники подобны с коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{3}\), то отношение периметров равно этому коэффициенту: \(\frac{P_{ABC}}{P_{DBE}} = 3\) или \(\frac{P_{DBE}}{P_{ABC}} = \frac{1}{3}\), то есть P_{ABC} : P_{DBE} = 3 : 1. в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{DBE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\), то есть S_{DBE} : S_{ABC} = 1 : 9. Ответ: DE || AC доказано. a) DE : AC = 1 : 3 б) P_{ABC} : P_{DBE} = 3 : 1 в) S_{DBE} : S_{ABC} = 1 : 9