Вариант 1, Задача 4*: В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK, равным 10 см, MN = NK = 20 см. На стороне NK лежит точка A так, что AK : AN = 1 : 3. Найдите AM.

Решение: Так как AK : AN = 1 : 3, то NK = AK + AN = 4x, где x - некоторая величина. Тогда AK = x, AN = 3x. Из условия NK = 20 см, следовательно, 4x = 20, откуда x = 5 см. Значит, AK = 5 см, AN = 15 см. Теперь рассмотрим треугольник AMK. У нас известны стороны MK = 10 см, AK = 5 см и NK = 20 см. Чтобы найти AM, можно воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике MNK, чтобы найти угол K, а затем применить теорему косинусов в треугольнике AMK. По теореме косинусов в треугольнике MNK: \(MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 * MN * NK * cos(K)\) \(10^2 = 20^2 + 20^2 - 2 * 20 * 20 * cos(K)\) \(100 = 400 + 400 - 800 * cos(K)\) \(800 * cos(K) = 700\) \(cos(K) = \frac{700}{800} = \frac{7}{8}\) Теперь рассмотрим треугольник AMK и снова применим теорему косинусов: \(AM^2 = AK^2 + MK^2 - 2 * AK * MK * cos(K)\) \(AM^2 = 5^2 + 10^2 - 2 * 5 * 10 * \frac{7}{8}\) \(AM^2 = 25 + 100 - \frac{700}{8}\) \(AM^2 = 125 - \frac{175}{2}\) \(AM^2 = \frac{250 - 175}{2} = \frac{75}{2}\) \(AM = \sqrt{\frac{75}{2}} = \sqrt{\frac{25 * 3}{2}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\) Ответ: AM = \(\frac{5\sqrt{6}}{2}\) см.