Вариант 2, Задача 2: Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. На стороне AB взята точка K так, что OK \(\perp\) AB, AK = 2 см, BK = 8 см. Найдите диагонали ромба.

Решение: Так как AK = 2 см, BK = 8 см, то сторона ромба AB = AK + BK = 2 + 8 = 10 см. Пусть AC = 2x, BD = 2y. Тогда AO = x, BO = y. Площадь ромба можно выразить как половину произведения его диагоналей, либо как произведение стороны на высоту, проведённую к этой стороне (в данном случае OK). Сначала найдем ОК из прямоугольного треугольника AOK: \(AO^2 = AK^2 + OK^2\) или \(x^2 = 4 + OK^2\). В прямоугольном треугольнике BOK: \(BO^2 = BK^2 + OK^2\) или \(y^2 = 64 + OK^2\). Из площади: \(S = \frac{1}{2} * AC * BD = \frac{1}{2} * 2x * 2y = 2xy\) Также \(S = AB * OK = 10 * OK\) Тогда \(2xy = 10 * OK\), \(OK = \frac{xy}{5}\). Подставляем в уравнения выше: \(x^2 = 4 + \frac{x^2y^2}{25}\) => \(25x^2 = 100 + x^2y^2\) (1) \(y^2 = 64 + \frac{x^2y^2}{25}\) => \(25y^2 = 1600 + x^2y^2\) (2) Вычитаем (1) из (2): \(25y^2 - 25x^2 = 1500\) \(y^2 - x^2 = 60\) (3) В прямоугольном треугольнике AOB: \(AO^2 + BO^2 = AB^2\) или \(x^2 + y^2 = 100\) (4) Складываем (3) и (4): \(2y^2 = 160\), \(y^2 = 80\), \(y = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) Тогда \(x^2 = 100 - 80 = 20\), \(x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) AC = 2x = \(4\sqrt{5}\) см, BD = 2y = \(8\sqrt{5}\) см. Ответ: Диагонали ромба равны \(4\sqrt{5}\) см и \(8\sqrt{5}\) см.