Вариант 2, Задача 4*: В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC = 40 см, AC = 20 см. На стороне BC отмечена точка H так, что BH : HC = 3 : 1. Найдите AH.

Решение: Так как BH : HC = 3 : 1, то BC = BH + HC = 4x, где x - некоторая величина. Тогда BH = 3x, HC = x. Из условия BC = 40 см, следовательно, 4x = 40, откуда x = 10 см. Значит, BH = 30 см, HC = 10 см. Теперь рассмотрим треугольник ABH. У нас известны стороны AB = 40 см, BH = 30 см и AC = 20 см. Чтобы найти AH, можно воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике ABC, чтобы найти угол B, а затем применить теорему косинусов в треугольнике ABH. По теореме косинусов в треугольнике ABC: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(B)\) \(20^2 = 40^2 + 40^2 - 2 * 40 * 40 * cos(B)\) \(400 = 1600 + 1600 - 3200 * cos(B)\) \(3200 * cos(B) = 2800\) \(cos(B) = \frac{2800}{3200} = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}\) Теперь рассмотрим треугольник ABH и снова применим теорему косинусов: \(AH^2 = AB^2 + BH^2 - 2 * AB * BH * cos(B)\) \(AH^2 = 40^2 + 30^2 - 2 * 40 * 30 * \frac{7}{8}\) \(AH^2 = 1600 + 900 - \frac{16800}{8}\) \(AH^2 = 2500 - 2100\) \(AH^2 = 400\) \(AH = \sqrt{400} = 20\) Ответ: AH = 20 см.