Вариант 1, Задача 4: В равнобокой трапеции FKPE (FK || EP), FE = 20 см, RP = 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла F трапеции.

Решение:

В равнобокой трапеции боковые стороны равны, значит FE = KP = 20 см.

Опустим высоты из вершин E и P на основание FK. Пусть точки пересечения будут H и G соответственно. Тогда EH = PG, а FH = GK.

Так как трапеция равнобокая, то:

FK = EP + 2 * FH

8 = 20 + 2 * FH (это некорректно, так как основание FK должно быть больше EP)

Предположим, что EP - большее основание, а FK - меньшее.

EP = FK + 2 * FH

20 = 8 + 2 * FH

2 * FH = 20 - 8 = 12

FH = 12 / 2 = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник EFH. Гипотенуза EF = 20 см, катет FH = 6 см.

Найдем высоту EH по теореме Пифагора: EH² + FH² = EF²

EH² + 6² = 20²

EH² + 36 = 400

EH² = 400 - 36 = 364

EH = √364 = 2√91 см.

Теперь найдем тригонометрические функции угла F:

• sin F = EH / EF = (2√91) / 20 = √91 / 10
• cos F = FH / EF = 6 / 20 = 3 / 10
• tg F = EH / FH = (2√91) / 6 = √91 / 3
• ctg F = FH / EH = 6 / (2√91) = 3 / √91 = 3√91 / 91

Ответ: sin F = √91 / 10, cos F = 3/10, tg F = √91 / 3, ctg F = 3√91 / 91