Вариант 1, задача 4: В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Треугольники AOD и BOC подобны, так как AD || BC. Коэффициент подобия k равен отношению оснований трапеции: \[k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2\] \[\frac{S_{BOC}}{45} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}\] \[S_{BOC} = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5 \text{ см}^2\] Площадь треугольника BOC равна 5 см².